Chuyển đổi giữa các hệ cơ số

Các bạn nên xem trước bài giới thiệu về các hệ cơ số cơ bản

Nguyên tắc để chuyển đổi giữa các hệ cơ số

Nguyên tắc 1 : chuyển từ hệ cơ số thập phân sang một hệ cơ số bất kỳ
Để chuyển từ hệ cơ số bất kỳ sang thập phân, nguyên tắc là cứ chia số đó lấy phần dư rồi tiếp tục chia phần nguyên lấy phần dư tiếp sau đó xếp thứ tự ngược từ dưới lên.

Lấy số 3295 (trong hệ thập phân) làm ví dụ:

3295 chia 2 = 1647.5  (1647 -> Dư 1)
1647 (phần nguyên) chia 2 = 823.5 -> Dư 1
823 chia 2 = 411.5 -> Dư 1
411 chia 2 = 205.5 -> Dư 1
205 chia 2 = 102.5 -> Dư 1
102 chia 2 = 51 -> Dư 0
51 chia 2 = 25.5 -> Dư 1
25 chia 2 = 12.5 -> Dư 1
12 chia 2 = 6 -> Dư 0
6 chia 2 = 3 -> Dư 0
3 chia 2 = 1.5 -> Dư 1
1 chia 2 = 0.5 -> Dư 1 (phần nguyên < 1 thì dừng)

Sắp xếp các số dư từ dưới lên trên ta được: 3295 (demical) = 110011011111 (binary).


Cũng với số này ta chuyển từ 10 sang thập lục phân thì như sau :

3295 chia 16 = 205.9375 (205 dư 15) tức là chữ số F trong hệ hexa đó
205 chia 16 = 12.8125 (12 dư 13) tức là D
12 chia 16 = 0.75 (0 dư 12) tức là C

Vậy số đó trong hệ hexa là CDF.


Đối với phần lẻ của số thập phân, chuyển sang nhị phân số lẻ được nhân với 2. Phần nguyên của kết quả sẽ là bit nhị phân, phần lẻ của kết quả lại tiếp tục nhân 2 cho đến khi phần lẻ của kết quả bằng 0.
Ví dụ: Chuyển số 0.625₁₀ sang hệ nhị phân

• 0.625 x 2 = 1.25, lấy số 1, phần lẻ 0.25
• 0.25 x 2 = 0.5, lấy số 0, phần lẻ 0.5
• 0.5 x 2 = 1.0, lấy số 1, phần lẻ 0. Kết thúc phép chuyển đổi. , lấy phần dư từ trên xuống

Với các hệ khác cũng tương tự, khỏi ví dụ nhé.


Nguyên tắc 2 : chuyển từ hệ cơ số bất kỳ ra thập phân

Có 1 số nhị phân A như sau:
A=a_na_n-1a_n-2…a₁.a₀a_-1a_-2…a_-m
Dấu chấm màu đỏ là dấu phân cách hàng thập phân. Giá trị của A được tính như sau:

A=a_n2ⁿ + a_n-12^n-1 + a_n-22^n-2 +…+a₁2¹ + a₀2⁰ + a_-12^-1+ a_-22^-2 +…+ a_-m2^-m

Ví dụ về số nhị phân: chuyển số 1110110.110101 sang số thập phân

1	1	1	0	1	1	0	.	1	1	0	1	0	1
6	5	4	3	2	1	0		-1	-2	-3	-4	-5	-6

1110110.110101=1x2⁶ + 1x2⁵ + 1x2⁴ + 0x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 0x2⁰ + 1x2^-1 +1x2^-2 + 0x2^-3 + 1x2^-4 + 0x2^-5 + 1x 2^-6
= 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 + 0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625 + 0 + 0.015625 = 118.828125
Vậy 1110110.110101 ₂ = 118.828125 ₁₀

Cái này tương đối dễ hiểu hơn cái trên, và không phải làm 2 công đoạn ngược nhau với phần nguyên và phần lẻ.


Nguyên tắc 3 : Chuyển nhanh các hệ cơ số là bội của 2
Có cái bảng các hệ cơ số nhị phân - thập lục - bát phân - thập phân sau đây
0000 | 0 | 0 | 0
0001 | 1 | 1 | 1
0010 | 2 | 2 | 2
0011 | 3 | 3 | 3
0100 | 4 | 4 | 4
0101 | 5 | 5 | 5
0110 | 6 | 6 | 6
0111 | 7 | 7 | 7
1000 | 8 | 10 | 8
1001 | 9 | 11 | 9
1010 | A | 12 | 10
1011 | B | 13 | 11
1100 | C | 14 | 12
1101 | D | 15 | 13
1110 | E | 16 | 14
1111 | F | 17 | 15

Ví dụ chuyển nhị phân sang thập lục phân :
110011011111b -> 1100 1101 1111 -> C D F (bảng thì tra hoặc học thuộc)
Quá trình ngược lại cũng tương tư từ C tra bảng ra 4 bit nhị phân nào.

Ở trên ta có thể áp dụng để chuyển qua lại giữa các giá trị nhị phân <-> thập lục hoặc nhị phân <-> bát phân. Muốn chuyển giữa thập lục và bát phân thì chuyển trung gian qua nhị phân.


Nguyên tắc 4 : Chuyển nhanh các hệ cơ số 10 với hệ nhị phân

Base-10 Decimal Conversion—63204829

Baseexponent	107	106	105	104	103	102	101	100
Column Value	6	3	2	0	4	8	2	9
Decimal Weight	10000000	1000000	100000	10000	1000	100	10	1
Column Weight	60000000	3000000	200000	0	4000	800	20	9

60000000 + 3000000 + 200000 + 0 + 4000 + 800 + 20 + 9 = 63204829.

Base-2 Binary Conversion—1110100 (233)

Baseexponent	27	26	25	24	23	22	21	20
Column Value	1	1	1	0	1	0	0	1
Decimal Weight	128	64	32	16	8	4	2	1
Column Weight	128	64	32	0	8	0	0	1

128 + 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 233

Read more »

Các hệ đếm thông dụng

Bài này sẽ trình bày 1 số khái niệm cơ bản về các hệ đếm (hệ cơ số) được dùng phổ biến hiện nay như:

• Hệ thập phân (DEC/decimal)
• Hệ nhị phân (BIN/binary)
• Hệ thập lục phân (HEX/hexadecimal)

1. Hệ thập phân
Hệ thập phân (hay hệ đếm cơ số 10) là một hệ đếm có 10 ký tự (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) dùng chỉ số lượng. Những con số này còn được dùng cùng với dấu phân cách thập phân – để định vị phần thập phân sau hàng đơn vị. Con số còn có thể được dẫn đầu bằng các ký hiệu “+” hay “-” để biểu đạt số dương và số âm.

2.  Hệ nhị phân
Hệ nhị phân (hay hệ đếm cơ số 2) là một hệ đếm dùng hai ký tự để biểu đạt một giá trị số, hai ký tự đó là 0 và 1; chúng thường được dùng để biểu đạt hai giá trị hiệu điện thế tương ứng (có hiệu điện thế, hoặc hiệu điện thế cao là 1 và không có, hoặc thấp là 0). Do có ưu điểm tính toán đơn giản, dễ dàng thực hiện về mặt vật lý, chẳng hạn như trên các mạch điện tử, hệ nhị phân trở thành một phần kiến tạo căn bản trong các máy tính đương thời.

Số nhị phân và bảng chữ cái
Các chữ cái đều có một mã số gọi là mã ASCII. Khi lưu trữ, máy tính sẽ chuyển mã ASCII của chữ cái này sang hệ nhị phân sau đó lưu trữ dãy nhị phân này. Dưới đây là bảng mã ASCII của một số kí tự in ra được

Mã nhị phân	Mã thập phân	Mã thập lục phân	Hình ảnh
010 0000	32	20	Khoảng trắng (của spacebar)
010 0001	33	21	!
010 0010	34	22	“
010 0011	35	23	#
010 0100	36	24	$
010 0101	37	25	%
010 0110	38	26	&
010 0111	39	27	‘
010 1000	40	28	(
010 1001	41	29	)
010 1010	42	2A	*
010 1011	43	2B	+
010 1100	44	2C	,
010 1101	45	2D	-
010 1110	46	2E	.
010 1111	47	2F	/
011 0000	48	30	0
011 0001	49	31	1
011 0010	50	32	2
011 0011	51	33	3
011 0100	52	34	4
011 0101	53	35	5
011 0110	54	36	6
011 0111	55	37	7
011 1000	56	38	8
011 1001	57	39	9
011 1010	58	3A	:
011 1011	59	3B	;
011 1100	60	3C	<
011 1101	61	3D	=
011 1110	62	3E	>
011 1111	63	3F	?
100 0000	64	40	@
100 0001	65	41	A
100 0010	66	42	B
100 0011	67	43	C
100 0100	68	44	D
100 0101	69	45	E
100 0110	70	46	F
100 0111	71	47	G
100 1000	72	48	H
100 1001	73	49	I
100 1010	74	4A	J
100 1011	75	4B	K
100 1100	76	4C	L
100 1101	77	4D	M
100 1110	78	4E	N
100 1111	79	4F	O
101 0000	80	50	P
101 0001	81	51	Q
101 0010	82	52	R
101 0011	83	53	S
101 0100	84	54	T
101 0101	85	55	U
101 0110	86	56	V
101 0111	87	57	W
101 1000	88	58	X
101 1001	89	59	Y
101 1010	90	5A	Z
101 1011	91	5B	[
101 1100	92	5C	\
101 1101	93	5D	]
101 1110	94	5E	^
101 1111	95	5F	_
110 0000	96	60	`
110 0001	97	61	a
110 0010	98	62	b
110 0011	99	63	c
110 0100	100	64	d
110 0101	101	65	e
110 0110	102	66	f
110 0111	103	67	g
110 1000	104	68	h
110 1001	105	69	i
110 1010	106	6A	j
110 1011	107	6B	k
110 1100	108	6C	l
110 1101	109	6D	m
110 1110	110	6E	n
110 1111	111	6F	o
111 0000	112	70	p
111 0001	113	71	q
111 0010	114	72	r
111 0011	115	73	s
111 0100	116	74	t
111 0101	117	75	u
111 0110	118	76	v
111 0111	119	77	w
111 1000	120	78	x
111 1001	121	79	y
111 1010	122	7A	z
111 1011	123	7B	{
111 1100	124	7C	|
111 1101	125	7D	}
111 1110	126	7E	~

3.  Hệ thập lục phân
Trong toán học và trong khoa học điện toán, hệ thập lục phân (hay hệ đếm cơ số 16, tiếng Anh: hexadecimal) là một hệ đếm có 16 ký tự, từ 0 đến 9 và A đến F (chữ hoa và chữ thường như nhau).
Ví dụ, số thập phân 79, với biểu thị nhị phân là 01001111, có thể được viết thành 4F trong hệ thập lục phân (4 = 0100, F = 1111).
Bảng liệt kê sau đây chỉ ra cho chúng ta từng ký tự số của hệ thập lục phân, cùng với giá trị tương ứng của nó trong hệ thập phân, và một dãy bốn ký tự số tương đương trong hệ nhị phân.

Thập lục phân	Thập phân	Nhị phân
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
A	10	1010
B	11	1011
C	12	1100
D	13	1101
E	14	1110
F	15	1111

Nguồn http://nhuttrung.wordpress.com/2009/10/18/cac-he-dem/

Ngoài các loại trên thì hệ cơ số cũng thông dụng là octal hay viết tắt là OCT (Hệ bát phân), dùng các số từ 0 đến 7 để biểu diễn.

Để chuyển đổi giữa các hệ cơ số, các bạn xem ở đây

Read more »

Tạp âm nhiệt AWGN (additive white Gaussian noise)

Tạp âm Gaussian mà bạn nói đến là tạp âm nhiệt (thermal noise), là dòng điện không mong muốn gây ra trong mạch điện dưới tác động của chuyển động nhiệt của các hạt mang điện trong mạch điện (các điện tử).

Chuyển động nhiệt ở đây là chuyển động Brown (chuyển động Bờ-rao-nơ như trong vật lý THCS các bạn được học ngay đầu môn vật lý - phần nhiệt học), chuyển động này là ngẫu nhiên, cân bằng về mọi phía, là hệ quả trực tiếp của việc các điện tử nhận nhiệt năng từ môi trường và chuyển thành động năng.

Bây giờ xét một mạch điện gồm một nguồn tín hiệu (nguồn một chiều như pin chẳng hạn) có sức điện động là E, có điện trở nguồn bằng 0, mạch ngoài gồm một điện trở tải R, bỏ qua điện trở dây dẫn. Theo định luật Ohm, dòng điện một chiều qua điện trở tải R là Io = E/R. Tuy nhiên, khi đo thực tế, dòng điện qua mạch là I(t) khác Io. Dòng I(t) quan trắc được nhấp nhô ngẫu nhiên quanh giá trị dòng 1 chiều Io. Do đó, ta có thể phân tích I(t) = Io + một dòng (khá nhỏ) nhấp nhô quanh giá trị 0. Dòng nhấp nhô khá nhỏ ấy ký hiệu là n(t), gọi là tạp âm. Dòng này chính là dòng gây bởi chuyển động nhiệt của các điện tử trong mạch. Điều này có thể thấy được như sau. Giá trị dòng điện tức thời trong mạch I = q/T trong đó T là khoảng thời gian quan trắc nào đó, q là điện lượng chuyển qua thiết diện của dây dẫn. Mọi điện tử trong mạch điện đồng thời chịu 2 lực tác động: Lực điện trường do nguồn E và lực do chuyển động nhiệt gây nên. Nếu lực chuyên động nhiệt cùng hướng với lực điện trường do nguồn E thì điện tử được tăng tốc, do đó trong cùng một T, điện lượng q chuyển qua mạch tăng, dòng I tăng, ngược lại thì dòng I giảm. Do chuyển động nhiệt thì ngẫu nhiên nên sự tăng giảm của dòng điện trong mạch cũng ngẫu nhiên. Tức là n(t) là một quá trình ngẫu nhiên.

Từ phân tích trên có thể thấy dòng tín hiệu do nguồn tín hiệu gây nên là Io, còn tạp âm nhiệt n(t) thì cộng vào với dòng tín hiệu, như vậy, tạp âm nhiệt có tính cộng với tín hiệu - từ đó có cái chữ A, viết tắt của từ ADDITIVE (có tính cộng).

Khi đo mật độ phổ công suất của tạp âm nhiệt N(f), người ta thấy N(f) của tạp âm gần như hằng số trong một dải tần Wn rất rộng, lên tới hàng chục GHz. Độ rộng băng này sở dĩ lớn đến vậy là do có thể xem dòng tạp âm là tổng các xung điện gây ra khi các điện tử chuyển động nhiệt va chạm vào nhau trong mạch - 2 điện tử va vào nhau thì động năng giảm dưới dạng bức xạ ra các xung điện từ n_i (quá trình là: nhiệt năng từ môi trường được điện tử hấp thụ chuyển thành động năng, khi va chạm thì động năng chuyển thành điện năng bức xạ thành các xung điện từ) và dòng tạp âm có thể xem như tổng các xung n_i rất bé này. Trong một giây có đến hàng tỷ, hàng chục tỷ các va chạm như vậy, do vậy tạp âm như tổng một chuỗi xung có tốc độ lên đến hàng chục tỷ xung trong một giây, vì vậy phổ của nó sẽ lên đến cỡ hàng tỷ đến hàng chục tỷ Hertz (hàng GHz đến hàng chục GHz). Do độ dốc của hàm N(f) rất nhỏ, mặt khác bề rộng phổ của tín hiệu trong thực tế lại rất bé, thường chỉ vài chục MHz đến cỡ 100 MHz, nên bên trong băng tín hiệu có thể xem N(f) là hằng số = No.
Ở đây ta cần lưu ý:
a) Với tín hiệu băng gốc, phổ chiếm của tín hiệu W thường rất nhỏ so với Wn (vài chục MHz so với vài - vài chục GHz) nên trong băng tín hiệu N(f) xem như = No = const. Công suất tạp âm lọt vào trong băng tín hiệu sẽ là Pn = No.W.
b) Với tín hiệu thông dải do điều chế, cả tín và tạp đều sẽ cùng điều chế sóng mang nên trên cao tần, phổ tín hiệu sẽ rộng 2W tập trung quanh tần số sóng mang fc, song với biên độ phổ giảm 2 lần (theo định lý điều chế trong biến đổi Fourier), tương tự vậy, hàm mật phổ công suất tạp âm cũng rộng cả về 2 phía của fc và có biên độ phổ là No/2. Điều này cho thấy việc điều chế thực ra như dịch tịnh tiến (tuyến tính) phổ tín hiệu lẫn mật phổ công suất tạp âm No lên tần số fc song biên độ cùng giảm 2 lần, bù lại, bề rộng phổ trên cao tần bây giờ của tín hiệu là 2W (và tạp âm lọt trong băng tín hiệu vẫn là Pn = 2W.No/2 = W.No). Như vậy, có thể xem như mật phổ công suất tạp âm có cả thành phần tần số âm (2 phía) với biên độ No/2 và khi được điều chế chỉ đơn thuần là dịch tịnh tiến lên fc.

Từ a) và b) nảy sinh hai khái niệm: Mật phổ công suất tạp âm một phía (chỉ có phần tần số dương) với biên độ (độ lớn) là No, bề rộng phổ Wn, thường sử dụng để tính SNR với tín hiệu băng gốc hay băng gốc tương đương; và mật phổ công suất tạp âm hai phía (có cả tần số dương lẫn âm - đối xứng quanh tần số 0) với độ lớn No/2, bề rộng phổ từ -Wn đến +Wn, tức là bề rộng phổ 2Wn, thường dùng để xét với tín hiệu thông dải (tín hiệu đã được điều chế).

Trong băng tín hiệu W thì mật phổ công suất tạp âm gần như là hằng số, làm gần đúng là hằng số No hay No/2 tùy trường hợp xét. Điều này gợi ý liên hệ tới phổ ánh sáng trắng (là tổng của mọi sóng điện từ ánh sáng với mọi bước sóng - hay tần số - khác nhau) là hằng số theo trục bước sóng lamda hay trục tần số. Tính chất phổ như vậy gọi là phổ TRẮNG, nên có cái chữ W (WHITE).

Bây giờ xét về mặt biên độ của dòng (hay điện áp rơi trên 1 điện trở nào đó như R của mạch chẳng hạn) tạp âm. Do n(t) là một quá trình ngẫu nhiên nên tại một thời điểm quan trắc to nào đó ta sẽ có một biến ngẫu nhiên là n(to), ký hiệu là n. Như đã nói, n là tổng của một số rất lớn các xung dòng (hay xung điện từ) n_i, từng n_i lại có ảnh hưởng rất yếu tới tổng do từng n_i có giá trị rất yếu. Theo định lý giới hạn trung tâm của Liapunov, n sẽ có hàm mật độ xác suất xấp xỉ được bằng hàm mật độ xác suất chuẩn (Gauss) (phát biểu chính xác của định lý Liapunov ở đây sẽ chỉ tổ làm rối sự theo dõi nên tôi sẽ không nói kỹ). Từ đây có tính chất phân bổ biên độ của tạp âm là phân bố CHUẨN, và do đó có chữ G (GAUSSIAN). Do chuyển động nhiệt là cân bằng về mọi phía nên trung bình của n (là tổng của các xung n_i với giá trị và dấu âm hay dương ngẫu nhiên) sẽ bằng 0. Tức là tạp âm có biên độ phân bố chuẩn, kỳ vọng bằng 0.

Trên đây là các hiểu biết về tạp âm nhiệt có được từ quan trắc và phân tích vật lý. Về mặt toán học áp dụng trong phân tích hệ thống, ta biết rằng máy thu có một mạch lọc để lọc lấy tín hiệu, có độ rộng băng lọc bằng với độ rộng băng W của tín hiệu. Bất luận tần số sóng mang fc là bao nhiêu thì công suất tạp âm tại lối ra Pn (sẽ cho ta tính được tỷ số công suất tín hiệu trên công suất tạp âm SNR = P/Pn, với P là công suất tín hiệu), như trên đã nói, cũng là No.W. Như vậy, để khỏi lệ thuộc vào tần số fc, ta có thể giả định như trong máy thu sẽ hoàn toàn không có tạp âm (khi đó phân tích hệ thống chỉ cần làm với tín hiệu) và tạp âm trong máy thu sẽ được quy ra đầu vào máy thu và cộng với tín hiệu, với tạp âm được mô hình toán học là một nguồn tạp âm có mật phổ công suất tạp âm một hay hai phía rộng vô hạn và có độ lớn là No hay No/2 tùy theo xét mật phổ công suất tạp âm một hay hai phía (khi xét tín hiệu băng gốc hay thông dải) - khi này mô hình tạp âm sẽ thực sự là một tạp âm TRẮNG.

TÓM TẮT:
Như vậy, tạp âm nhiệt có thể quy thành một nguồn tạp âm ở đầu vào máy thu, đã được mô hình hóa là AWGN: CỘNG với tín hiệu tại đầu vào máy thu (A), có mật phổ công suất là hằng số rộng vô hạn (No hay No/2 tùy theo xét ở băng gốc hay cao tần) - tính chất có mật phổ công suất TRẮNG (W), và có biên độ tạp âm là biến ngẫu nhiên tuân theo phân bố CHUẨN (G), viết tắt là AWG Noise hay AWGN. Tiếng Việt gọi là tạp âm cộng trắng chuẩn hay tạp âm trắng chuẩn cộng tính. Đây chỉ là một mô hình toán học chứ không phải là tạp âm thực sự bởi tạp âm được mô hình hóa như thế sẽ có công suất (là diện tích của dải băng dài vô hạn giới hạn bởi trục tần số và đường N(f) = No, diện tích đó là vô hạn) bằng vô hạn, không thực tế.

Lưu ý:
1. No thể hiện về mặt năng lượng của tạp âm, về mặt thống kê thì tạp âm lại được thể hiện qua phương sai của hàm mật độ xác suất của biên độ tạp âm là zigma^2. Như vậy hai cái này có quan hệ với nhau. Người ta đã chứng minh (khá dễ dàng song công thức lằng nhằng gõ ra đây chỉ gây tẩu hỏa nhập ma thôi) rằng No = 2.zigma^2.
2. Công suất tạp âm thực tế đo được trong băng tín hiệu Pn = 4.k.T.W, song ta lại có Pn = No.W, do vậy No = 4.k.T, với T là nhiệt độ tuyệt đối (tính theo độ Kenvin), còn k là hằng số Boltzman. Nhiệt độ càng cao, No càng lớn và công suất tạp âm càng lớn. Để tạp âm nhỏ, cần làm giảm T, điều này dẫn đến các bộ LNA (Low Noise Amplifier - Khuếch đại tạp âm thấp) thường được thiết kế cho có nhiệt độ môi trường thấp - tỷ như nhúng bộ khuếch đại trong khí Heli lỏng chẳng hạn.

Sửa chữa: Các con số tôi có thể không nhớ chính xác. Theo các tài liệu trên Internet, độ rộng băng của tạp âm nhiệt lên tới 1500 GHz chứ không phải chỉ vài chục GHz như trong bài đã viết.

Nguồn http://vntelecom.org/diendan/showthread.php?t=7033&p=61400#post61400

Các bạn có thể vào đây để xem các loại nhiễu khác http://tongquanvienthong.blogspot.com/2012/02/nhieu-trong-thong-tin-di-ong.html

Read more »